简介这份资源面向核工程、人工智能方向的毕业设计、课程设计与期末大作业学习者聚焦物理信息神经网络PINN在中子学中的应用。内容围绕有效增殖因子计算、多维中子扩散方程的无网格求解以及中子输运微分阶理论展开将物理定律约束嵌入神经网络训练帮助读者理解如何用机器学习方法替代传统复杂数值求解流程。压缩包共39个文件约269KB以28个Python脚本为核心覆盖单硬边界、并行多搜索、反问题等多种实验配置另含5个xml与1个iml等开发环境配置、3个dat训练与损失数据文件及README说明目录按反应堆参数、扩散方程、输运理论等模块组织便于按主题检索与复现。目前已有46人学习下载适合希望快速搭建PINN中子学实验框架、对照代码理解物理约束建模与排错思路的读者参考。1. 从“算不动”到“算得快”这份中子学 PINN 资源到底解决了什么问题如果你做过中子学相关课题大概率经历过这种绝望输运方程维度一高传统数值方法网格量直接爆炸算一个工况等半天调个参数又要重来。这份《基于机器学习的中子学PINN研究.zip》就是冲着这个痛点来的——它把物理信息神经网络PINN搬进中子学场景用神经网络逼近中子通量密度分布把物理方程作为约束塞进损失函数让模型在少量数据甚至无标签条件下也能收敛到物理上合理的解。资源里包含完整的代码实现、训练脚本和实验配置适合做毕业设计、课程设计或期末大作业的同学直接上手复现也适合想从传统数值方法转向机器学习求解偏微分方程的从业者做技术验证。它不是纯理论推导而是能跑起来、能改参数、能看到损失曲线下降的工程包。2. 拆开压缩包之前PINN 求解中子输运的底层逻辑与选型理由2.1 为什么是中子学 PINN而不是纯数据驱动中子输运方程本质上是玻尔兹曼方程在中子场下的具体形式变量包括空间坐标、能量、方向和时间。传统离散纵标法或蒙特卡洛方法精度高但计算成本随维度指数上升。纯数据驱动模型需要大量标注数据而中子学实验数据获取成本极高很多工况根本拿不到实测值。PINN 的核心思路是把方程残差作为损失的一部分让网络在训练中同时拟合边界条件和物理规律这样即使没有标签数据也能通过最小化方程残差得到近似解。常见做法是把中子通量密度作为网络输出输入是空间点和能量点损失函数由三部分组成方程残差项、边界条件项、初始条件项。这种混合驱动方式在数据稀缺场景下优势明显也是这份资源选择 PINN 而不是普通神经网络的原因。2.2 资源里的网络结构与训练流程拆解从代码结构看资源采用全连接网络作为主干激活函数用 tanh因为它的二阶导数连续适合计算二阶微分方程残差。输入维度根据具体问题设定一般包括空间坐标 x、y、z 和能量群 e输出是中子通量。训练流程分三步先采样配置点包括内部残差点和边界点然后前向传播计算通量预测值最后用自动微分求方程残差反向传播更新权重。下面是一个典型的训练循环骨架我按资源里的写法整理出来你可以直接对照自己的环境改import torch import torch.nn as nn class PINN(nn.Module): def __init__(self, layers): super().__init__() self.net nn.Sequential() for i in range(len(layers)-1): self.net.add_module(flinear_{i}, nn.Linear(layers[i], layers[i1])) if i len(layers)-2: self.net.add_module(ftanh_{i}, nn.Tanh()) def forward(self, x): return self.net(x) # 损失函数方程残差 边界条件 def loss_fn(model, x_int, x_bc, D, Sigma_a, S): x_int.requires_grad_(True) phi model(x_int) # 自动微分求二阶导数 phi_x torch.autograd.grad(phi, x_int, torch.ones_like(phi), create_graphTrue)[0] phi_xx torch.autograd.grad(phi_x, x_int, torch.ones_like(phi_x), create_graphTrue)[0] # 扩散方程残差: -D*phi_xx Sigma_a*phi - S 0 residual -D * phi_xx Sigma_a * phi - S loss_res torch.mean(residual ** 2) # 边界条件通量在边界处为零或给定值 phi_bc model(x_bc) loss_bc torch.mean(phi_bc ** 2) return loss_res loss_bc这段代码里D是扩散系数Sigma_a是宏观吸收截面S是源项这三个参数需要根据你实际的中子学问题从截面库或文献里取值。x_int是内部采样点x_bc是边界点采样数量直接影响训练稳定性和精度。资源里默认内部点 2000 个、边界点 200 个你可以根据问题维度调整。注意create_graphTrue必须开否则二阶导数求不出来这是新手最容易翻车的地方。2.3 环境配置与依赖版本资源基于 PyTorch 框架建议用 Python 3.8 以上PyTorch 1.10 以上。CUDA 版本根据你显卡驱动选没有 GPU 也能跑但训练时间会从几分钟拉到半小时以上。依赖包包括 numpy、matplotlib、scipy用来做数据预处理和结果可视化。安装命令如下pip install torch torchvision numpy matplotlib scipy如果你用 conda可以建一个独立环境避免版本冲突conda create -n pinn_neutron python3.9 conda activate pinn_neutron pip install torch numpy matplotlib scipy装完之后先跑一个官方 MNIST 例子验证 PyTorch 能正常调用 GPU再跑资源里的训练脚本这样能排除环境问题。我一般会先torch.cuda.is_available()确认一下返回 False 就老老实实用 CPU 跑小规模测试。3. 把代码跑起来从数据生成到损失收敛的完整操作链3.1 采样策略内部点、边界点、初始点怎么分配PINN 训练效果很大程度上取决于采样点分布。资源里采用均匀采样加拉丁超立方采样两种方式均匀采样适合规则区域拉丁超立方适合高维或复杂几何。内部点数量建议是网络参数量的 5 到 10 倍太少会导致方程残差约束不足太多会拖慢训练速度。边界点要覆盖所有边界每个边界至少 50 个点否则边界条件容易失效。初始点只在瞬态问题里需要稳态问题可以忽略。下面是一个采样函数示例import numpy as np from scipy.stats import qmc def sample_points(n_int, n_bc, dim, bounds): # 拉丁超立方采样内部点 sampler qmc.LatinHypercube(ddim) sample sampler.random(nn_int) x_int qmc.scale(sample, bounds[0], bounds[1]) # 边界点在边界面上均匀采样 x_bc np.random.uniform(bounds[0], bounds[1], size(n_bc, dim)) # 强制边界点落在边界上以二维为例 for i in range(n_bc): if np.random.rand() 0.5: x_bc[i, 0] bounds[0][0] if np.random.rand() 0.5 else bounds[1][0] else: x_bc[i, 1] bounds[0][1] if np.random.rand() 0.5 else bounds[1][1] return x_int, x_bcn_int和n_bc根据问题规模调一维问题 500 和 50 就够二维建议 2000 和 200三维要 5000 以上。bounds是求解区域的上下界比如[[0,0],[1,1]]表示二维单位正方形。采样完最好画个散点图看一眼确认没有点跑到区域外面去。3.2 训练脚本参数详解与第一次运行资源里的训练脚本入口是train.py主要参数包括学习率、训练轮数、网络层数、每层神经元数。学习率默认 1e-3用 Adam 优化器训练 5000 轮后切换到 L-BFGS 做精细收敛。网络结构默认 4 层每层 50 个神经元这个规模在二维问题上够用三维问题建议加到 6 层 64 神经元。第一次运行建议把训练轮数改成 1000先看损失能不能下降确认流程通了再跑完整训练。运行命令python train.py --epochs 1000 --lr 0.001 --layers 4 --neurons 50 --n_int 2000 --n_bc 200跑起来之后终端会打印每 100 轮的损失值正常情况方程残差损失会从 1e-1 降到 1e-4 以下边界损失降到 1e-6 左右。如果损失不降反升先检查学习率是不是太大改成 1e-4 试试如果损失卡在某个值不动可能是采样点太少或者网络容量不够。我一般会同时开 TensorBoard 看损失曲线比盯终端直观。3.3 结果验证通量分布对比与误差指标训练完之后资源里提供了plot.py画通量分布图还会计算相对 L2 误差。验证方法有两种一是和解析解对比如果有的话二是和传统数值方法结果对比。中子学问题很多没有解析解常见做法是用蒙特卡洛程序跑一个参考解然后算 PINN 预测值和参考值的相对误差。资源里默认用有限差分结果做参考误差控制在 1% 以内算合格。下面是一个计算相对 L2 误差的代码片段def relative_l2_error(phi_pred, phi_ref): # phi_pred: 模型预测通量, phi_ref: 参考通量 numerator np.linalg.norm(phi_pred - phi_ref) denominator np.linalg.norm(phi_ref) return numerator / denominatorphi_pred和phi_ref要保证在同一套网格点上取值否则误差没意义。如果误差大于 5%先检查边界条件有没有加对再看方程残差的权重是不是太小。资源里默认残差权重是 1.0边界权重也是 1.0你可以根据问题调整比如边界条件严格时把边界权重调到 10。4. 避坑指南PINN 训练中子学问题最容易翻车的五个地方4.1 损失不收敛方程残差一直在震荡现象训练几百轮后方程残差损失在 0.1 附近上下跳降不下去。原因学习率太大或者采样点分布不均匀导致梯度方向混乱。解决把学习率降到 1e-4同时用拉丁超立方重新采样确保内部点覆盖整个区域。如果还不行检查方程残差的量纲是不是和边界条件差太多必要时做归一化。4.2 边界条件失效通量在边界处明显偏离现象内部区域拟合得不错但边界上通量值明显不对甚至出现负值。原因边界点采样太少或者边界损失权重太低。解决把边界点数量增加到内部点的 10%边界损失权重调到 5 到 10。另外检查边界条件写的是 Dirichlet 还是 Neumann中子学里常见的是通量在边界为零对应 Dirichlet 条件直接让phi_bc趋近于零就行。4.3 二阶导数计算报错提示“element 0 of tensors does not require grad”现象运行到自动微分那一步直接报错说张量不需要梯度。原因输入点没有设置requires_gradTrue或者在前向传播之前就把它转成了 numpy 数组。解决确保x_int是 torch 张量且requires_grad_(True)并且整个计算图里不要出现.detach()或.numpy()。这个坑我踩过好几次血泪经验就是采样完之后立刻转张量别等到用的时候再转。4.4 训练速度慢到无法接受GPU 利用率极低现象一个 epoch 要好几秒GPU 显存占用很低。原因采样点太多或者网络太大但 batch 设置不合理导致大量时间花在数据搬运上。解决把内部点分批送入网络每批 500 到 1000 个点用DataLoader做批处理。另外检查是不是在 CPU 上跑torch.cuda.is_available()返回 True 的话把模型和输入都.cuda()。4.5 换一个工况就要重新训练没有泛化能力现象在某个截面参数下训练好的模型换一组截面参数后预测完全不对。原因PINN 把截面参数当成了固定值没有作为输入。解决把截面参数也作为网络输入的一部分让模型学习参数到通量的映射。资源里默认只输入空间坐标你可以改成输入(x, y, z, D, Sigma_a)这样训练一次就能覆盖多个工况。代价是训练数据要包含不同参数组合采样点数量也要增加。5. 进阶技巧把 PINN 从中子学扩散方程推到输运方程扩散方程只是中子输运的近似真正要做高保真计算还得回到输运方程。输运方程多了角度变量输入维度变成空间加能量加方向网络容量和采样点数量都要大幅增加。我一般会先把角度离散成几个方向每个方向单独训练一个子网络最后加权求和。这样比直接上高维网络稳定得多。另一个技巧是用自适应采样在残差大的区域多撒点残差小的区域少撒点能显著提升收敛速度。资源里提供了一个简单的自适应采样函数你可以基于它改def adaptive_sampling(model, x_int, D, Sigma_a, S, n_new100): x_int.requires_grad_(True) phi model(x_int) phi_x torch.autograd.grad(phi, x_int, torch.ones_like(phi), create_graphTrue)[0] phi_xx torch.autograd.grad(phi_x, x_int, torch.ones_like(phi_x), create_graphTrue)[0] residual torch.abs(-D * phi_xx Sigma_a * phi - S) # 选残差最大的前 n_new 个点附近加密 _, idx torch.topk(residual.flatten(), n_new) x_new x_int[idx] torch.randn_like(x_int[idx]) * 0.01 return torch.cat([x_int, x_new], dim0)这个函数每次调用会在残差大的地方加新点训练过程中每隔 500 轮调用一次能明显改善高梯度区域的拟合精度。验证方法也简单训练完之后看残差分布图如果最大残差和平均残差差距在 10 倍以内说明采样比较均匀了。从那以后我每次做 PINN 训练都强制走一遍自适应采样不然总有些局部区域误差下不来。希望帮到你。本文还有配套的精品资源点击获取 基于机器学习的中子学PINN研究：物理信息神经网络求解中子输运方程实战
简介这份资源面向核工程、人工智能方向的毕业设计、课程设计与期末大作业学习者聚焦物理信息神经网络PINN在中子学中的应用。内容围绕有效增殖因子计算、多维中子扩散方程的无网格求解以及中子输运微分阶理论展开将物理定律约束嵌入神经网络训练帮助读者理解如何用机器学习方法替代传统复杂数值求解流程。压缩包共39个文件约269KB以28个Python脚本为核心覆盖单硬边界、并行多搜索、反问题等多种实验配置另含5个xml与1个iml等开发环境配置、3个dat训练与损失数据文件及README说明目录按反应堆参数、扩散方程、输运理论等模块组织便于按主题检索与复现。目前已有46人学习下载适合希望快速搭建PINN中子学实验框架、对照代码理解物理约束建模与排错思路的读者参考。1. 从“算不动”到“算得快”这份中子学 PINN 资源到底解决了什么问题如果你做过中子学相关课题大概率经历过这种绝望输运方程维度一高传统数值方法网格量直接爆炸算一个工况等半天调个参数又要重来。这份《基于机器学习的中子学PINN研究.zip》就是冲着这个痛点来的——它把物理信息神经网络PINN搬进中子学场景用神经网络逼近中子通量密度分布把物理方程作为约束塞进损失函数让模型在少量数据甚至无标签条件下也能收敛到物理上合理的解。资源里包含完整的代码实现、训练脚本和实验配置适合做毕业设计、课程设计或期末大作业的同学直接上手复现也适合想从传统数值方法转向机器学习求解偏微分方程的从业者做技术验证。它不是纯理论推导而是能跑起来、能改参数、能看到损失曲线下降的工程包。2. 拆开压缩包之前PINN 求解中子输运的底层逻辑与选型理由2.1 为什么是中子学 PINN而不是纯数据驱动中子输运方程本质上是玻尔兹曼方程在中子场下的具体形式变量包括空间坐标、能量、方向和时间。传统离散纵标法或蒙特卡洛方法精度高但计算成本随维度指数上升。纯数据驱动模型需要大量标注数据而中子学实验数据获取成本极高很多工况根本拿不到实测值。PINN 的核心思路是把方程残差作为损失的一部分让网络在训练中同时拟合边界条件和物理规律这样即使没有标签数据也能通过最小化方程残差得到近似解。常见做法是把中子通量密度作为网络输出输入是空间点和能量点损失函数由三部分组成方程残差项、边界条件项、初始条件项。这种混合驱动方式在数据稀缺场景下优势明显也是这份资源选择 PINN 而不是普通神经网络的原因。2.2 资源里的网络结构与训练流程拆解从代码结构看资源采用全连接网络作为主干激活函数用 tanh因为它的二阶导数连续适合计算二阶微分方程残差。输入维度根据具体问题设定一般包括空间坐标 x、y、z 和能量群 e输出是中子通量。训练流程分三步先采样配置点包括内部残差点和边界点然后前向传播计算通量预测值最后用自动微分求方程残差反向传播更新权重。下面是一个典型的训练循环骨架我按资源里的写法整理出来你可以直接对照自己的环境改import torch import torch.nn as nn class PINN(nn.Module): def __init__(self, layers): super().__init__() self.net nn.Sequential() for i in range(len(layers)-1): self.net.add_module(flinear_{i}, nn.Linear(layers[i], layers[i1])) if i len(layers)-2: self.net.add_module(ftanh_{i}, nn.Tanh()) def forward(self, x): return self.net(x) # 损失函数方程残差 边界条件 def loss_fn(model, x_int, x_bc, D, Sigma_a, S): x_int.requires_grad_(True) phi model(x_int) # 自动微分求二阶导数 phi_x torch.autograd.grad(phi, x_int, torch.ones_like(phi), create_graphTrue)[0] phi_xx torch.autograd.grad(phi_x, x_int, torch.ones_like(phi_x), create_graphTrue)[0] # 扩散方程残差: -D*phi_xx Sigma_a*phi - S 0 residual -D * phi_xx Sigma_a * phi - S loss_res torch.mean(residual ** 2) # 边界条件通量在边界处为零或给定值 phi_bc model(x_bc) loss_bc torch.mean(phi_bc ** 2) return loss_res loss_bc这段代码里D是扩散系数Sigma_a是宏观吸收截面S是源项这三个参数需要根据你实际的中子学问题从截面库或文献里取值。x_int是内部采样点x_bc是边界点采样数量直接影响训练稳定性和精度。资源里默认内部点 2000 个、边界点 200 个你可以根据问题维度调整。注意create_graphTrue必须开否则二阶导数求不出来这是新手最容易翻车的地方。2.3 环境配置与依赖版本资源基于 PyTorch 框架建议用 Python 3.8 以上PyTorch 1.10 以上。CUDA 版本根据你显卡驱动选没有 GPU 也能跑但训练时间会从几分钟拉到半小时以上。依赖包包括 numpy、matplotlib、scipy用来做数据预处理和结果可视化。安装命令如下pip install torch torchvision numpy matplotlib scipy如果你用 conda可以建一个独立环境避免版本冲突conda create -n pinn_neutron python3.9 conda activate pinn_neutron pip install torch numpy matplotlib scipy装完之后先跑一个官方 MNIST 例子验证 PyTorch 能正常调用 GPU再跑资源里的训练脚本这样能排除环境问题。我一般会先torch.cuda.is_available()确认一下返回 False 就老老实实用 CPU 跑小规模测试。3. 把代码跑起来从数据生成到损失收敛的完整操作链3.1 采样策略内部点、边界点、初始点怎么分配PINN 训练效果很大程度上取决于采样点分布。资源里采用均匀采样加拉丁超立方采样两种方式均匀采样适合规则区域拉丁超立方适合高维或复杂几何。内部点数量建议是网络参数量的 5 到 10 倍太少会导致方程残差约束不足太多会拖慢训练速度。边界点要覆盖所有边界每个边界至少 50 个点否则边界条件容易失效。初始点只在瞬态问题里需要稳态问题可以忽略。下面是一个采样函数示例import numpy as np from scipy.stats import qmc def sample_points(n_int, n_bc, dim, bounds): # 拉丁超立方采样内部点 sampler qmc.LatinHypercube(ddim) sample sampler.random(nn_int) x_int qmc.scale(sample, bounds[0], bounds[1]) # 边界点在边界面上均匀采样 x_bc np.random.uniform(bounds[0], bounds[1], size(n_bc, dim)) # 强制边界点落在边界上以二维为例 for i in range(n_bc): if np.random.rand() 0.5: x_bc[i, 0] bounds[0][0] if np.random.rand() 0.5 else bounds[1][0] else: x_bc[i, 1] bounds[0][1] if np.random.rand() 0.5 else bounds[1][1] return x_int, x_bcn_int和n_bc根据问题规模调一维问题 500 和 50 就够二维建议 2000 和 200三维要 5000 以上。bounds是求解区域的上下界比如[[0,0],[1,1]]表示二维单位正方形。采样完最好画个散点图看一眼确认没有点跑到区域外面去。3.2 训练脚本参数详解与第一次运行资源里的训练脚本入口是train.py主要参数包括学习率、训练轮数、网络层数、每层神经元数。学习率默认 1e-3用 Adam 优化器训练 5000 轮后切换到 L-BFGS 做精细收敛。网络结构默认 4 层每层 50 个神经元这个规模在二维问题上够用三维问题建议加到 6 层 64 神经元。第一次运行建议把训练轮数改成 1000先看损失能不能下降确认流程通了再跑完整训练。运行命令python train.py --epochs 1000 --lr 0.001 --layers 4 --neurons 50 --n_int 2000 --n_bc 200跑起来之后终端会打印每 100 轮的损失值正常情况方程残差损失会从 1e-1 降到 1e-4 以下边界损失降到 1e-6 左右。如果损失不降反升先检查学习率是不是太大改成 1e-4 试试如果损失卡在某个值不动可能是采样点太少或者网络容量不够。我一般会同时开 TensorBoard 看损失曲线比盯终端直观。3.3 结果验证通量分布对比与误差指标训练完之后资源里提供了plot.py画通量分布图还会计算相对 L2 误差。验证方法有两种一是和解析解对比如果有的话二是和传统数值方法结果对比。中子学问题很多没有解析解常见做法是用蒙特卡洛程序跑一个参考解然后算 PINN 预测值和参考值的相对误差。资源里默认用有限差分结果做参考误差控制在 1% 以内算合格。下面是一个计算相对 L2 误差的代码片段def relative_l2_error(phi_pred, phi_ref): # phi_pred: 模型预测通量, phi_ref: 参考通量 numerator np.linalg.norm(phi_pred - phi_ref) denominator np.linalg.norm(phi_ref) return numerator / denominatorphi_pred和phi_ref要保证在同一套网格点上取值否则误差没意义。如果误差大于 5%先检查边界条件有没有加对再看方程残差的权重是不是太小。资源里默认残差权重是 1.0边界权重也是 1.0你可以根据问题调整比如边界条件严格时把边界权重调到 10。4. 避坑指南PINN 训练中子学问题最容易翻车的五个地方4.1 损失不收敛方程残差一直在震荡现象训练几百轮后方程残差损失在 0.1 附近上下跳降不下去。原因学习率太大或者采样点分布不均匀导致梯度方向混乱。解决把学习率降到 1e-4同时用拉丁超立方重新采样确保内部点覆盖整个区域。如果还不行检查方程残差的量纲是不是和边界条件差太多必要时做归一化。4.2 边界条件失效通量在边界处明显偏离现象内部区域拟合得不错但边界上通量值明显不对甚至出现负值。原因边界点采样太少或者边界损失权重太低。解决把边界点数量增加到内部点的 10%边界损失权重调到 5 到 10。另外检查边界条件写的是 Dirichlet 还是 Neumann中子学里常见的是通量在边界为零对应 Dirichlet 条件直接让phi_bc趋近于零就行。4.3 二阶导数计算报错提示“element 0 of tensors does not require grad”现象运行到自动微分那一步直接报错说张量不需要梯度。原因输入点没有设置requires_gradTrue或者在前向传播之前就把它转成了 numpy 数组。解决确保x_int是 torch 张量且requires_grad_(True)并且整个计算图里不要出现.detach()或.numpy()。这个坑我踩过好几次血泪经验就是采样完之后立刻转张量别等到用的时候再转。4.4 训练速度慢到无法接受GPU 利用率极低现象一个 epoch 要好几秒GPU 显存占用很低。原因采样点太多或者网络太大但 batch 设置不合理导致大量时间花在数据搬运上。解决把内部点分批送入网络每批 500 到 1000 个点用DataLoader做批处理。另外检查是不是在 CPU 上跑torch.cuda.is_available()返回 True 的话把模型和输入都.cuda()。4.5 换一个工况就要重新训练没有泛化能力现象在某个截面参数下训练好的模型换一组截面参数后预测完全不对。原因PINN 把截面参数当成了固定值没有作为输入。解决把截面参数也作为网络输入的一部分让模型学习参数到通量的映射。资源里默认只输入空间坐标你可以改成输入(x, y, z, D, Sigma_a)这样训练一次就能覆盖多个工况。代价是训练数据要包含不同参数组合采样点数量也要增加。5. 进阶技巧把 PINN 从中子学扩散方程推到输运方程扩散方程只是中子输运的近似真正要做高保真计算还得回到输运方程。输运方程多了角度变量输入维度变成空间加能量加方向网络容量和采样点数量都要大幅增加。我一般会先把角度离散成几个方向每个方向单独训练一个子网络最后加权求和。这样比直接上高维网络稳定得多。另一个技巧是用自适应采样在残差大的区域多撒点残差小的区域少撒点能显著提升收敛速度。资源里提供了一个简单的自适应采样函数你可以基于它改def adaptive_sampling(model, x_int, D, Sigma_a, S, n_new100): x_int.requires_grad_(True) phi model(x_int) phi_x torch.autograd.grad(phi, x_int, torch.ones_like(phi), create_graphTrue)[0] phi_xx torch.autograd.grad(phi_x, x_int, torch.ones_like(phi_x), create_graphTrue)[0] residual torch.abs(-D * phi_xx Sigma_a * phi - S) # 选残差最大的前 n_new 个点附近加密 _, idx torch.topk(residual.flatten(), n_new) x_new x_int[idx] torch.randn_like(x_int[idx]) * 0.01 return torch.cat([x_int, x_new], dim0)这个函数每次调用会在残差大的地方加新点训练过程中每隔 500 轮调用一次能明显改善高梯度区域的拟合精度。验证方法也简单训练完之后看残差分布图如果最大残差和平均残差差距在 10 倍以内说明采样比较均匀了。从那以后我每次做 PINN 训练都强制走一遍自适应采样不然总有些局部区域误差下不来。希望帮到你。本文还有配套的精品资源点击获取